Question

在直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上．
（1）当角α的终边为射线l：y=2

2

x（x≥0）时，求cos（α+

π

6

）的值；
（2）现将角α的终边绕点O沿逆时针方向旋转，已知终边的起始位置和终止位置分别与射线y=

3

3

x（x≥0）和y=-x（x≥0）重合，试求

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）求出角α的正弦函数以及余弦函数值，即可求cos（α+

π

6

）的值；
（2）现将角α的终边绕点O沿逆时针方向旋转，求出角的范围，利用二倍角的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

我2一个角的一个三角函数的形式，通过角的范围求出相位的范围，利用三角函数的值域求解表达式的取值范围．

解答： 解：（1）在射线l上取点A（1，2

2

），则OA=

12+(2 2 )2

=3，
由三角函数的定义可得sinα=

2 2

3

，cosα=

1

3

，…（3分）
∴cos（α+

π

6

）=cosαcos

π

6

-sinαsin

π

6

=

1

3

×

3

2

-

2 2

3

×

1

2

=

3 -2 2

6

．…（6分）
（2）∵角α的终边起始位置和终止位置分别与射线y=

3

3

x，x≥0和y=-x，x≥0重合
∴

π

6

≤α≤

3π

4

∵

3

2

sin2α+

3

cos2α-

3

2

=

3

2

sin2α+

3

2

cos2α=

3

sin（2α+

π

6

）     …（9分）
∵

π

6

≤α≤

3π

4

∴

π

2

≤2α+

π

6

≤

5π

3

．
∴-1≤sin（2α+

π

6

）≤1．∴-

3

≤

3

sin（2α+

π

6

）≤

3

．
即

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

的取值范围：[-

3

，

3

]．…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的定义的应用，三角函数的值域，考查转化思想以及计算能力．