题目内容
已知a，b是不等正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1＜a+b＜
．
| 4 |
| 3 |
考点：不等式的证明
专题：不等式
分析：根据已知条件容易得到a2+ab+b2=a+b，因为是求a+b的范围，所以由上式得到（a+b）2=a+b+ab，所以ab=（a+b）2-（a+b），根据基本不等式及已知a，b＞0，a≠b，可知：0＜ab＜
，所以得到0＜(a+b)2-(a+b)＜
，解关于a+b的不等式即可得到1＜a+b＜
．
| (a+b)2 |
| 4 |
| (a+b)2 |
| 4 |
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解答：
证明：根据已知条件有：（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）（a+b） ①；
∵a≠b；
∴①式两边同除以a-b得：a2+ab+b2=a+b；
∴（a+b）2=a+b+ab；
∴ab=（a+b）2-（a+b）；
∵0＜ab＜
；
∴0＜(a+b)2-(a+b)＜
；
∴
，解得：
1＜a+b＜
．
∵a≠b；
∴①式两边同除以a-b得：a2+ab+b2=a+b；
∴（a+b）2=a+b+ab；
∴ab=（a+b）2-（a+b）；
∵0＜ab＜
| (a+b)2 |
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∴0＜(a+b)2-(a+b)＜
| (a+b)2 |
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∴
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1＜a+b＜
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点评：考查立方差公式，平方差公式，完全平方式，以及基本不等式：a+b＞2
，a＞0，b＞0，a≠b．
| ab |
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