Question

（1）证明：A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z）的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）利用（1）计算

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）必要性：若A+B+C=nπ，则A+B=nπ-C，依题意，利用两角和的正切，变形整理，即可证得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
充分性：若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，变形后有tanA+tanB=（1-tanAtanB）tanC，逆用两角和的正切，变形整理可得tan（A+B）=tan（-C），继而可得A+B+C=nπ（n∈Z）；
（2）观察可知，20°+40°+120°=180°，利用（1）的结论，易求

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

的值．

解答： （1）证明：必要性：若A+B+C=nπ，则A+B=nπ-C，又A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z，
∴tan（A+B）=tan（nπ-C），
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
充分性：若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
则tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC=（1-tanAtanB）tanC，依题意，1-tanAtanB≠0，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，
∴tan（A+B）=tan（-C），
∴A+B=nπ-C，n∈Z，
∴A+B+C=nπ（n∈Z），
∴A+B+C=nπ（A，B，C≠kπ+

π

2

，k∈Z，n∈Z）的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）解：由∵20°+40°+120°=180°，由（1）知，tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°tan120°，
∴

tan20°+tan40°+tan120°

tan20°tan40°

=

tan20°•tan40°•tan120°

tan20°tan40°

=tan120°=-

3

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，着重考查充分必要性的证明，考查转化思想与推理证明能力，属于中档题．