Question

1．已知命题p：“函数f（x）=${2^{{x^2}-2x}}$-m在R上有零点”．　命题q：“函数f（x）=x²+2mx+n在[1，2]上单调递增”．
（1）若p为真命题，则实数m的取值范围；
（2）若p∧q为真命题，则实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数以及二次函数的性质求出p为真时的m的范围即可；
（2）根据二次函数的性质，求出m的范围，从而求出复合命题的m的范围．

解答 解：（1）p为真命题：
∵函数$f（x）={2^{{x^2}-2x}}-m$在R上有零点，
∴$f（x）={2^{{x^2}-2x}}-m=0$有解，
∴${2^{{x^2}-2x}}=m$有解，
∴m=${2}^{{（x-1）}^{2}-1}$≥2^-1=$\frac{1}{2}$，
∴m≥$\frac{1}{2}$；
（2）函数f（x）=x²+2mx+n在[1，2]上单调递增，
对称轴x=-m，
∴-m≤1，．
∴m≥-1，
∵p∧q，所以p，q均为真，
所以$m≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．