Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{2}$，过BC的中点D作平面ACB₁的垂线，交平面ACC₁A₁于E，则BE与平面ABB₁A₁所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由A₁B⊥平面B₁CD可知E为A₁C的中点，作出线面角，利用勾股定理即可求出所求角的真切值．

解答 解：连结A₁C，A₁B，取A₁C的中点E，连结DE，BE，
∵AC⊥AB，AC⊥AA₁，∴AC⊥平面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁B．
∵AB=AA₁，∴四边形AA₁B₁B是正方形，∴A₁B⊥B₁A，
∴A₁B⊥平面B₁CD，
∵D为BC的中点，E为A₁C的中点，∴DE∥A₁B，
∴DE⊥平面B₁CD．
取A₁A的中点F，连结EF，BF，则EF⊥平面AA₁B₁B，
∴∠EBF为BE与平面ABB₁A₁所成角．
∵EF=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=1，AB=2，
∴BF=$\sqrt{5}$，∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选C．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．