Question

8．已知实数4、m、16构成一个等比数列，则圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{{\sqrt{14}}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$或 $\frac{{\sqrt{14}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{14}}}{4}$或3

Answer 1

分析 由4，m，16构成一个等比数列，得到m=±8．当m=8时，圆锥曲线是椭圆；当m=-8时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．

解答 解：∵4，m，16构成一个等比数列，
∴m=±8．
当m=8时，圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$是椭圆，a=2$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{7}$，
它的离心率是$\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$；
当m=-8时，圆锥曲线$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$是双曲线，a=1，b=2$\sqrt{3}$，c=3，
它的离心率是3．
故选：D．

点评 本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．