Question

3．曲线C是由方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（y≥0）的弧线及方程为y=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{a}^{2}）$（y＜0）的弧线构成的封闭曲线，若点F₁（-c，0），F₂（-c，0），F（0，-3）为等边三角形的三个顶点（其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$），椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在过原点的直线l与曲线C交于不在x轴上的A，B两点，使得$\overrightarrow{{F}_{1}A}=\overrightarrow{B{F}_{2}}$，若存在，求出该直线的斜率，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等边三角形性质得c=$\sqrt{3}$，由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，得a=4，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）若存在这样的直线，则四边形F₁AF₂B是平行四边形，由对称性，过原点的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1的交点都符合，设这样的直线l与$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1，（y≥0）交于A点，与y=$\frac{1}{4}$（x²-16）（y＜0）交于B点，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），（y＜0）}\end{array}\right.$，得B点坐标，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵点F₁（-c，0），F₂（c，0），F（0，-3）为等边三角形的三个顶点，
∴$\sqrt{3}c=3$，解得c=$\sqrt{3}$，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴a=4，
∴b²=${4}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}$=13，
∵曲线C是由方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（y≥0）的弧线及方程
为y=$\frac{1}{4}（{x}^{2}-{a}^{2}）$（y＜0）的弧线构成的封闭曲线，
∴曲线C的方程为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1，y≥0}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），y＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）若存在这样的直线，则四边形F₁AF₂B是平行四边形，
由对称性，过原点的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1的交点都符合，
设这样的直线l与$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1，（y≥0）交于A点，与y=$\frac{1}{4}$（x²-16）（y＜0）交于B点，
则B是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}$=1与y=$\frac{1}{4}$（x²-16），（y＜0）的交点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{13}=1}\\{y=\frac{1}{4}（{x}^{2}-16），（y＜0）}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\frac{13}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
由图形知B（-$\sqrt{3}$，-$\frac{13}{4}$），或B（$\sqrt{3}，-\frac{13}{4}$）符合，
∴这样的直线的斜率为$\frac{-\frac{13}{4}}{-\sqrt{3}}$=$\frac{13}{12}\sqrt{3}$或$\frac{-\frac{13}{4}}{\sqrt{3}}$=-$\frac{13}{12}\sqrt{3}$，
∴这样的直线l存在，其斜率为$\frac{13}{12}\sqrt{3}$或-$\frac{13}{12}\sqrt{3}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．