Question

设数列{a_n}共有n项（n≥3，n∈N^*），且a₁=a_n=1，对于每个i（1≤i≤n-1，n∈N^*）均有

ai+1

ai

∈{

1

2

，1，2}．
（1）当n=3时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为

 

；
（2）当n=8时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）分别取i=1，2，由a₁=a₃=1，

a2

a1

∈{

1

2

，1，2}，

a3

a2

∈{

1

2

，1，2}求得a₂的值，则满足条件的所有数列{a_n}的个数可求；
（2）令b_i=

ai+1

ai

 （1≤i≤7），则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件：
b1b2…b7=

a2

a1

•

a3

a2

…

a8

a7

=

a8

a1

=1，且b_i∈{

1

2

，1，2}，反之符合上述条件的7项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的8项数列{a_n}．由此结合组合数知识求得满足条件的所有数列{a_n}的个数．

解答： 解：（1）当n=3时，
∵

a2

a1

∈{

1

2

，1，2}，

a3

a2

∈{

1

2

，1，2}，
a₂∈{

1

2

，1，2}，

1

a2

∈{

1

2

，1，2}，
∴a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2．
∴满足条件的所有数列{a_n}的个数为3个；
（2）令b_i=

ai+1

ai

 （1≤i≤7），则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件：
b1b2…b7=

a2

a1

•

a3

a2

…

a8

a7

=

a8

a1

=1，且b_i∈{

1

2

，1，2}，
反之符合上述条件的7项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的8项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
显然b_i（1≤i≤7）中有k个2，k个

1

2

，7-2k个1．
当k给定时，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

种，易得k的可能值为0，1，2，3．
故N=1+

C

1 7

C

1 6

+

C

2 7

C

2 5

+

C

3 7

C

3 4

=393，
∴满足条件的所有数列{a_n}的个数为393个．
故答案为：（1）3个；（2）393个．

点评：本题考查数列递推式，解答此题的关键是对题意的理解，是中档题．