Question

7．已知椭圆x²+（m+3）y²=m，（m＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值及椭圆长轴、焦点坐标、顶点坐标．

Answer 1

分析 化简椭圆方程为标准方程，求出a，b利用离心率求出m，然后求解椭圆长轴、焦点坐标、顶点坐标．

解答 解：原方程变形为$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{{\frac{m}{m+3}}}=1$，因为m＞0，所以长轴为x轴，即$a=\sqrt{m}$，$b=\sqrt{\frac{m}{m+3}}$，c=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}$，
所以$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，将c和a代入解得m=1，椭圆的标准方程为${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{4}}}=1$，
所以长轴长为2，短轴长为1，焦点为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，
顶点坐标分别为（1，0）、（-1，0）、$（{0，\frac{1}{2}}）$、$（{0，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．