Question

6．如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F₁，F₂ 分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为$\frac{1}{2}$．过椭圆的左焦点F₁ 任意作一条直线l 与椭圆交于A，B 两点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当直线l 的斜率k=1 时，求三角形ABF₂ 的面积；
（3）当直线l 绕F₁ 旋转变化时，求三角形ABF₂ 的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{a}^{2}}{c}-a$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF₂的面积；
（3）设直线l的方程为x=my-1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF₂的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：$\frac{{a}^{2}}{c}-a$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）直线l的方程为y=x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7y²-6y-9=0，
则y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{7}$，
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}^{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴三角形ABF₂ 的面积S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y₁-y₂丨=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$；
三角形ABF₂ 的面积$\frac{12\sqrt{2}}{7}$；
（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my-1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}^{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
设t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$t≥1，则m²=t²-1，
丨y₁-y₂丨=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
f（t）=3t+$\frac{1}{t}$，f′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，函数f（t）单调递增，
则当t=1时，丨y₁-y₂丨有最大值3，
故三角形ABF₂的面积的最大值为S=$\frac{1}{2}$×2c×丨y₁-y₂丨_max=3，
综合可知：△ABF₂ 的面积的最大值．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查韦达定理，弦长公式及函数的单调性，最值与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．