Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为3，则
（Ⅰ）m=

 

；
（Ⅱ）对任意a∈R，f（x）在[a，a+20π]上的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值，求得m的值．
（Ⅱ）根据已知推断区间的长度为20π，求得函数的最小正周期，推断出在此区间共有多少个周期，利用每个周期内零点的个数推断出共计的零点个数．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∵sin（2x+

π

6

）最大值为1，
∴f（x）_max=3+m=3，此时m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴对于区间[a，a+20π]的长度为20π+a-a=20π，
∴在此区间上，函数f（x）可以有20个周期，
当a=-

π

12

+kπ（k∈Z）时，在第一个周期内恰有3个零点，以后每个周期均由2个零点，则此时零点个数为：20×2+1=41．
当a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）时，在每个周期内有2个零点，则此时零点个数为：20×2=40．
综合得零点的个数为40或41个，
故答案为：40或41．

点评：本题主要考查了三角形恒等变换的应用，三角函数图象与性质．此题要特别考虑到a=-

π

12

+kπ这一特殊情况，防止漏解．