Question

3．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sinα=$\frac{1}{3}$．
（1）求sin2α的值；
（2）若sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得 sin2α的值．
（2）先确定α+β∈α∈（π，$\frac{3π}{2}$），可得 cos（α+β）的值，再根据sinβ=sin[（α+β）-α]，利用两角差的正弦公式求得结果．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sinα=$\frac{1}{3}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2•$\frac{1}{3}•（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
（2）∵sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴α+β∈α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-$\frac{3}{5}•（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{6\sqrt{2}+4}{15}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，二倍角的正弦公式，以及两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．