Question

给出下列命题：
①“m=3”是“直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件；
②向量

a

，

b

均为非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，则向量

a

与

b

的夹角为

π

3

；
③若直线a，b与平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α∥β；
④命题p：“?k∈R，直线kx+2y-3=0与圆x²+y²=4都相交”，则￢p为假命题．
其中真命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①m=0时，两条直线的方程分别化为：3x-2=0，-6y+5=0，此时两条直线相互垂直；当m≠0时，若直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直，
则-

m+3

m

×

m

6

=-1，解得m=3．即可判断出．
②向量

a

，

b

均为非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，则|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2 a 2+2| a |2cos＜ a ， b ＞

=|

a

|，解得cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，即可点到向量

a

与

b

的夹角；
③若直线a，b与平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α与β不一定平行；
④若直线kx+2y-3=0与圆x²+y²=4相交，则

3

k2+4

＜2，此式对于?k∈R都成立．即可判断出命题p正确．

解答： 解：①m=0时，两条直线的方程分别化为：3x-2=0，-6y+5=0，此时两条直线相互垂直，
当m≠0时，若直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直，则-

m+3

m

×

m

6

=-1，解得m=3．
因此“m=3”是“直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充分但不必要条件，因此不正确；
②向量

a

，

b

均为非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，则|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2 a 2+2| a |2cos＜ a ， b ＞

=|

a

|，
化为cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，向量

a

与

b

的夹角为

2π

3

，因此不正确；
③若直线a，b与平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α与β不一定平行，因此不正确；
④若直线kx+2y-3=0与圆x²+y²=4相交，则

3

k2+4

＜2，此式对于?k∈R都成立．
因此命题p：“?k∈R，直线kx+2y-3=0与圆x²+y²=4都相交”正确，则￢p为假命题正确．
综上可得：只有④正确．
故选：B．

点评：本题综合考查了两条直线相互垂直的充要条件、向量的夹角公式、两个平面平行的判定定理、直线与圆相交的充要条件、简易逻辑的有关知识等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．