Question

椭圆C的两焦点坐标分别为F₁（-5

3

，0）和F₂（5

3

，0），且椭圆经过点P(-5

3

，-

5

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-6，0）作直线l交椭圆C于M、N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，试证明：∠MAN=90°．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得c²=a²-b²=75，

75

a2

+

1

b2

•

25

4

=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为：x=my-6由

x2+4y2=100 x=my-6

得：（m²+4）y²-12my-64=0，由此能证明∠MAN的大小必为定值

π

2

．

解答： （Ⅰ）解：由题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知则有c²=a²-b²=75，

75

a2

+

1

b2

•

25

4

=1，
联立解得a²=100，b²=25，
故所求椭圆方程为

x2

100

+

y2

25

=1…..（4分）
（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为：x=my-6
由

x2+4y2=100 x=my-6

得：（m²+4）y²-12my-64=0，
因为点（-6，0）在椭圆内部，
直线必与椭圆相交于两点，即△＞0恒成立
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y1+y2=

12m

m2+4

，y1•y2=

-64

m2+4

，…..（8分）
则

AM

•

AN

=(x1+10，y1)•(x2+10，y2)
=（my₁+4，y₁）•（my₂+4，y₂）
=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
将y1+y2=

12m

m2+4

，y1•y2=

-64

m2+4

，
代入上式整理，得

AM

•

AN

=0，∴∠MAN=

π

2

，
则∠MAN的大小必为定值

π

2

…．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查角为定值的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．