题目内容

某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/h，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/h时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．
（Ⅰ）当游船以30km/h航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入-成本）
（Ⅱ）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？
考点：基本不等式在最值问题中的应用
专题：应用题,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）利润=收入-成本；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
解答： 解：（Ⅰ）设游船的速度为v（km/h），旅游公司单程获得的利润为y（元），
因为游船的燃料费用为每小时k•v2元，依题意k•202=60，则k=
3
20
．（2分）
所以y=6000-（
3
20
v2•
100
v
+240•
100
v
）=6000-15v-
24000
v
（0＜v≤50）．
v=30km/h时，y=4750元；（5分）
（Ⅱ）y=6000-15v-
24000
v
≤6000-2
15v•
24000
v
=4800，
当且仅当15v=
24000
v
，即v=40时，取等号．
所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/h，最大利润是4800元．
点评：本题是一道实际应用题，考查了正比例函数，建模思想，考查利用基本不等式求函数的最值，解决实际问题的能力．
练习册系列答案
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下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A、y=x3
B、y=（
1
2
）|x|
C、y=1-x2
D、y=lgx2
已知点A（0，2）和B（0，-2），过点A的直线与过点B的直线交于点P，若直线PA、PB的斜率之积为1．
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）设点D为点A关于直线y=x的对称点，过点D的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点E、F，设过定点B与EF的中点M的直线交x轴于点Q（x0，0），求x0的取值范围．
椭圆C的两焦点坐标分别为F1（-5
3
，0）和F2（5
3
，0），且椭圆经过点P(-5
3
，-
5
2
)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-6，0）作直线l交椭圆C于M、N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，试证明：∠MAN=90°．
已知函数f（x）=lg（
1-mx
1-x
）为奇函数．
（1）求m的值，并求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）若对于任意θ∈[0，
π
2
]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos2θ+λsinθ-
1
3
）-lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（3）求二面角E-AB-C的余弦值．
已知函数f（x）=
(cosx-sinx)sin2x
cosx

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[
π
24
，
11π
24
]上的最大值和最小值．
作出函数f（x）=|x+1|+|x-2|的图象并求其值域．
判断并证明函数y=x-1的奇偶性．

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