题目内容
7．已知n∈N*，数列{an}的各项为正数，前n项的和为Sn，且a1=1，a2=2，设bn=a2n-1+a2n．（1）如果数列{bn}是公比为3的等比数列，求S2n；
（2）如果对任意n∈N*，Sn=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，求数列{an}的通项公式；
（3）如果S2n=3（2n-1），数列{anan+1}也为等比数列，求数列{an}的通项公式．
分析 （1）b1=a1+a2=3，可得bn=3n=a2n-1+a2n．利用分组求和与等比数列的求和公式即可得出S2n．
（2）对任意n∈N*，Sn=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，可得n≥2时，an=Sn-Sn-1，化为：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，an＞0．可得an-an-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）由S2n=3（2n-1），且a1=1，a2=2，可得a1+a2+a3+a4=9，可得a3+a4=6．由数列{anan+1}也为等比数列，设公比为q=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，可得数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q．即可得出．
解答 解：（1）b1=a1+a2=3，∴bn=3n=a2n-1+a2n．
∴S2n=3+32+…+3n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
（2）对任意n∈N*，Sn=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$恒成立，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+n-1}{2}$，化为：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，an＞0．
∴an-1=an-1，即an-an-1=1，
∴an=1+（n-1）=n．
（3）∵S2n=3（2n-1），且a1=1，a2=2，
∴a1+a2+a3+a4=3×（22-1）=9=1+2+a3+a4，
∴a3+a4=6．
∵数列{anan+1}也为等比数列，设公比为q=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为q．
∴a3=q，a4=a2q=2q，
∴q+2q=3×2，解得q=2．
∴${a}_{2n-1}={a}_{1}{q}^{n-1}$=2n-1，
a2n=${a}_{2}{q}^{n-1}$=2n．
可得an=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n=2k-1}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N*）．
点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
过点C（0，$\sqrt{2}$）的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（-a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．