Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$，∠BAC=θ．
（I）若${sin^2}（{θ+\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2θ=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，求三角形的面积；
（II）若a=4，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围θ∈（0，π），可得2θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），利用特殊角的三角函数值可求θ的值，进而利用三角形面积公式，平面向量数量积的运算即可计算得解．
（II）利用平面向量数量积的运算，余弦定理可得b²+c²=32，进而利用基本不等式即可计算得解bc的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵${sin^2}（{θ+\frac{π}{4}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2θ=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1-cos（2θ+\frac{π}{2}）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…3分
又∵θ∈（0，π），可得：2θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：θ=$\frac{π}{6}$…5分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinθ=$\frac{1}{2}×$$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{cosθ}$×sinθ=4tanθ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$…7分
（II）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$=bccosθ，a=4，
又∵b²+c²-2bccosθ=16，
∴b²+c²=32，
又∵b²+c²≥2bc，可得：bc≤16（当且仅当b=c时取等号），
∴bc的最大值为16…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．