Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞1}\end{array}\right.$若对于任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f（x）_max（x∈R），由二次函数与对数函数的单调性可求得f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，解不等式$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$，即可求得实数t的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞1}\end{array}\right.$，
∴对于任意x∈R，不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1恒成立?$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥f（x）_max（x∈R），
又当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取到最大值，即f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{t}^{2}}{4}$-t+1≥$\frac{1}{4}$，整理得：t²-4t+3≥0，
解得：t≥3或t≤1．
故答案为：（-∞，1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，求得f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．