Question

A，B，C三人进行乒乓球比赛，优胜者按以下规则决出：
（Ⅰ）三人中两人进行比赛，胜出者与剩下的一人进行比赛，直到出现两连胜者，则此两连胜者呗判定为优胜者，比赛结束；
（Ⅱ）在每次比赛中，无平局，必须决出胜负．
已知A胜B的概率是

2

3

，C胜A的概率是

1

2

，C胜B的概率是

1

3

，第一场比赛在A与C中进行
（1）分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率；
（2）记第3n-1场比赛后C为优胜者的概率为p_n，第3n场比赛后C为优胜者的概率为q_n，第3n+1场比赛后C为优胜者的概率为r_n，n∈N^*试求p_n，q_n，r_n．

Answer 1

考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（1）由题意可知，分别得到第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的情况，再由独立事件同时发生的概率即得答案；
（2）第一场A与C的比赛结果分两种情况：（分类讨论思想）①A与C的比赛中C胜出，②A与C的比赛中A胜出，
进而得到C在第3n-1场或者第3n+1场比赛后能成为优胜者，在第3n场比赛后不能成为优胜者，即可得到答案．

解答： 解：（1）由题意可知第二场比赛后C为优胜者的情况为（C-A）→（C-B）→C，
故其概率为

1

2

×

1

3

=

1

6

；   （独立事件同时发生的概率）      
由题意可知第三场比赛后C不可能为优胜者，故其概率为0；（不可能事件的概率）  
由题意可知第四场比赛后C为优胜者的情况为（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→C，
故其概率为

1

2

×

1

3

×

1

3

×

1

2

=

1

36

．（独立事件同时发生的概率）
（2）第一场A与C的比赛结果分两种情况：（分类讨论思想）
①A与C的比赛中C胜出，C如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：
（C-A）→（C-B）→（B-A）→（A-C）→（C-B）→C，（n∈N^*，共3n-1场）
对n∈N*，以上比赛进行的概率为：(

2

3

×

2

3

×

1

2

)n-1×

1

6

=

1

6

•(

2

9

)n-1，
此时C在第3n-1场比赛后成为优胜者；                                                   
②A与C的比赛中A胜出，C如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：
（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→（A-B）→（B-C）→（C-A）→C，（n∈N^*，共3n+1场）
对n∈N*，以上比赛进行的概率为：(

1

3

×

1

2

×

1

3

)n-1×

1

36

=

1

2

•(

1

18

)n，
此时C在第3n+1场比赛后成为优胜者．
综上所述，C在第3n-1场或者第3n+1场比赛后能成为优胜者，在第3n场比赛后不能成为优胜者，
所以pn=

1

6

•(

2

9

)n-1，q_n=0，rn=

1

2

•(

1

18

)n，n∈N^*．

点评：本题考查独立重复试验，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，解题的关键是看清事件是什么事件，从而正确选择公式．