题目内容

已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（
α
2
+
π
8
）=
3
2
5
，求cos2a的值．
考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的求值
分析：（1）利用两角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）利用诱导公式和倍角公式即可得出．
解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin2x+cos2x
=
2
(
2
2
sin2x+
2
2
cos2x)
=
2
(sin2xcos
π
4
+cos2xsin
π
4
)
=
2
sin(2x+
π
4
)
∴T=
2π
2
=π．
（2）∵f（
α
2
+
π
8
）=
2
sin(α+
π
4
+
π
4
)=
2
cosα=
3
2
5
，化为cosα=
3
5
．
∴cos2α=2cos2α-1=2(
3
5
)2-1=-
7
25
．
点评：本题考查了两角和差的正弦公式及其周期公式、诱导公式和倍角公式等基础知识．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时f（x）=e-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x2-4x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函数g（x）在[0，3]上的零点个数．
已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．
（1）已知a＞1，b＜1，求证：a+b＞1+ab；
（2）已知x1，x2，…，xn∈R+且x1x2…xn=1，求证：（
2
+x1）（
2
+x2）…（
2
+xn）≥（
2
+1）n．
A，B，C三人进行乒乓球比赛，优胜者按以下规则决出：
（Ⅰ）三人中两人进行比赛，胜出者与剩下的一人进行比赛，直到出现两连胜者，则此两连胜者呗判定为优胜者，比赛结束；
（Ⅱ）在每次比赛中，无平局，必须决出胜负．
已知A胜B的概率是
2
3
，C胜A的概率是
1
2
，C胜B的概率是
1
3
，第一场比赛在A与C中进行
（1）分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率；
（2）记第3n-1场比赛后C为优胜者的概率为pn，第3n场比赛后C为优胜者的概率为qn，第3n+1场比赛后C为优胜者的概率为rn，n∈N*试求pn，qn，rn．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
当实数x，y满足约束条件
x≥0
y≥x
2x+y+k≤0
（其中k为常数且k＜0）时，
y+1
x
的最小值为
3
2
，则实数k的值为
 
．
设n∈N*，f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
，由计算得f（2）=
3
2
，f（4）＞2，f（8）＞
5
2
，f（32）＞
7
2
，观察上述结果，可推出一般的结论为
 
．
设函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．函数g（x）=f（f（x））-ax有4个零点．则实数a的取值范围是
 
．

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