Question

已知函数f（x）=x³+3|x-a|（a＞0），若f（x）在[-1，1]上的最小值记为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）证明：当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求g（a）；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（a），分类讨论，求最值，可以证明x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．

解答： （Ⅰ）解：∵a＞0，-1≤x≤1，
①当0＜a＜1时，
若x∈[-1，a]，则f（x）=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，故此时函数在（-1，a）上是减函数，
若x∈（a，1]，则f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，故此时函数在（a，1）上是增函数，
∴g（a）=f（a）=a³．
②当a≥1，f（x）=x³+3|x-a|=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，故此时函数在[-1，1]上是减函数，
则g（a）=f（1）=-2+3a．
综上：g（a）=

a3 ，0＜a＜1 -2+3a ，a≥1

．
（Ⅱ）证明：设h（x）=f（x）-g（a），
①当0＜a＜1时，g（a）=a³，
若x∈[a，1]，h（x）=x³+3x-3a-a³，h′（x）=3x²+3，
∴h（x）在[a，1]上是增函数，
∴h（x）在[a，1]上的最大值是h（1）=4-3a-a³，且0＜a＜1，∴h（1）≤4，∴f（x）≤g（a）+4．
若x∈[-1，a]，h（x）=x³-3x+3a-a³，h′（x）=3x²-3，
∴h（x）在[-1，a]上是减函数，
∴h（x）在[-1，a]上的最大值是h（-1）=2+3a-a³，
令t（a）=2+3a-a³，则t′（a）=3-3a²，∴t（a）在（0，1）上是增函数，
∴t（a）＜t（1）=4
∴h（-1）＜4，∴f（x）≤g（a）+4．
③a≥1时，g（a）=-2+3a，∴h（x）=x³-3x+2，∴h′（x）=3x²-3，
∴h（x）在[-1，1]上是减函数，
∴h（x）在[-1，1]上的最大值是h（-1）=4，
∴f（x）≤g（a）+4；
综上，当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．

点评：利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键．