Question

某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润y₁、y₂万元，利润曲线分别为C₁：y₁=m•a^x+b，C₂：y₂=cx，其中m，a，b，c都为常数．如图所示：
（1）分别求函数y₁、y₂的解析式；
（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．（可能要用的数ln2≈0.7）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,分段函数的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）由函数y1=m•ax+b过点(0，0)，(2，

5

16

)，(4，

25

16

)，可得

m+b=0 m•a2+b= 5 16 m•a4+b= 25 16

，解出可得y₁的解析式；由函数y₂=cx过点(3，

7

4

)可得c=

7

12

，从而可得y₂的解析式；
（2）设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12-x万元，该商场所获利润为y万元，则y=y1+y2=

5

48

•2x-

5

48

+

7

12

(12-x)=

5

48

•2x-

7

12

x+

331

48

，利用导数可求得函数的最小值；

解答： 解（1）由函数y1=m•ax+b过点(0，0)，(2，

5

16

)，(4，

25

16

)，可得

m+b=0 m•a2+b= 5 16 m•a4+b= 25 16

，解得

a=2 b=- 5 48 m= 5 48

，
∴y1=

5

48

•2x-

5

48

，
由函数y₂=cx过点(3，

7

4

)可得c=

7

12

，∴y2=

7

12

x；
（2）设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12-x万元，该商场所获利润为y万元，
则y=y1+y2=

5

48

•2x-

5

48

+

7

12

(12-x)=

5

48

•2x-

7

12

x+

331

48

，
y′=

5

48

•2xln2-

7

12

=

5

48

•

7

10

•2x-

7

12

=

7

96

•2x-

7

12

，
令y'=0可得x=3，y'在（0，12）单调递增，
∴当x∈（0，3），y'＜0，y在（0，3）单调递减，当x∈（3，+∞），y'＞0，y在（3，+∞）单调递增，
当x=3时，利润y有最小值

287

48

．
答：该商场所获利润的最小值

287

48

．

点评：该题以实际问题为背景，考查应用导数求函数的最值，考查实际问题中函数解析式，实际问题要考虑实际意义，实际问题中，函数的极值点往往就是最值点．