Question

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
给出下列命题：①f（

1

4

）=1；
②f（

1

2

）=0；
③f（x）是奇函数；
④f（x）在定义域上单调递增，
则所有真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，
①m=

1

4

此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标；
②当m=

1

2

时，对应的点在点A的正下方，即可求出n；
③可由奇函数的定义域关于原点对称来确定正误；
④可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性．

解答： 解：如图，因为M在以（1，1-

1

2π

）为圆心，

1

2π

为半径的圆上运动，
对于①当m=

1

4

时．M的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为（-1，0），
故f（

1

4

）=-1，则①错；
对于②，当m=

1

2

时，对应的点在点A的正下方，
此时点N（0，0），所以f（

1

2

）=0，则②对；
对于③，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．则③错；
对于④，当实数m越来越大时，
如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，
即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，则④对．
其中正确的为②④．
故选D．

点评：本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，题目较抽象．