Question

命题p：函数f（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-∞，+∞）内存在极值；命题q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦点在x轴上的双曲线．已知命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是给出命题p：函数f（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-∞，+∞）内存在极值；命题q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦点在x轴上的双曲线为真时a的取值范围，在利用p、q一真一假求解a的取值范围

解答： 解：∵命题p：函数f（x）=x³-ax²+3ax+1在区间（-∞，+∞）内存在极值
∴若命题p为真，那么f′（x）=3x²-2ax+3a，当f（x）在区间（-∞，+∞）内存在极值，
则△=（-2a）²-36a＞0，
解得 a＞9或a＜0．
∵命题q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦点在x轴上的双曲线．
∴若命题q为真，方程（a+1）y²-x²=a-1可化为

x2

1-a

-

y2

1-a a+1

=1，
则由

1-a＞0 1-a a+1 ＞0

解得，-1＜a＜1
∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题
∴p、q必然一真一假．
①当p真q假时，则

a＞9或a＜0 a≤-1或a≥1

，解得a≤-1或a＞9；
②当p假q真时，则

0≤a≤9 -1＜a＜1

，解得0≤a＜1；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1）∪[0，1）∪（9，+∞）．

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．