Question

设a，b，c是互不相等的正数，求证：
（Ⅰ）a⁴+b⁴+c⁴＞abc（a+b+c）；
（Ⅱ）

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

＞

2

（a+b+c）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：a，b，c为互不相等的非负数，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a，b，c是正数，
∴a⁴+b⁴≥2a²b²，b⁴+c⁴≥2b²c²，c⁴+a⁴≥2a²c²，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴等号不能同时取，
∴a⁴+b⁴+c⁴＞a²b²+b²c²+a²c²；
∵a²b²+b²c²＞2

a2b2•b2c2

=2ab²c，
同理b²c²+a²c²＞2bc²a，a²b²+a²c²＞2ca²b，
∴b²c²+a²c²+a²b²＞abc（a+b+c），
∴a⁴+b⁴+c⁴＞abc（a+b+c）；
（Ⅱ）∵a，b，c是互不相等的正数，
∴a²+b²＞2ab，
∴2（a²+b²）＞a²+b²+2ab=（a+b）²，
∴a²+b²＞

1

2

（a+b）²，
∴

a2+b2

＞

2

2

（a+b）
同理

b2+c2

＞

2

2

（b+c），

c2+a2

＞

2

2

（a+c）．
∴

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

＞

2

（a+b+c）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．