Question

14．已知函数f（x）=mx+2lnx+$\frac{m-2}{x}$，m∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）=$\frac{m}{x}$，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为至少存在一个x₀∈[1，e]，使得m＞$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2lnx}{x}$成立，设H（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2lnx}{x}$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数的定义域是（0，+∞），
f′（x）=m+$\frac{2}{x}$+$\frac{2-m}{{x}^{2}}$=$\frac{{mx}^{2}+2x+2-m}{{x}^{2}}$，
m=0时，f′（x）=$\frac{2（x+1）}{{x}^{2}}$，f（x）在（0，+∞）递增，
m＞0时，f′（x）=$\frac{（x+1）（x+\frac{2}{m}-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=1-$\frac{2}{m}$或x=-1，
若1-$\frac{2}{m}$＞0，即m＞2时，x∈（0，1-$\frac{2}{m}$）时，f′（x）＜0，
x∈（1-$\frac{2}{m}$，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（1-$\frac{2}{m}$，+∞）递增，在（0，1-$\frac{2}{m}$）递减，
若1-$\frac{2}{m}$≤0，即m≤2时，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，
m＜0时，x∈（0，1-$\frac{2}{m}$）时，f′（x）＞0，
x∈（1-$\frac{2}{m}$，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，1-$\frac{2}{m}$）递增，在（1-$\frac{2}{m}$，+∞）递减；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=mx+2lnx-$\frac{2}{x}$，
∵至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴至少存在一个x₀∈[1，e]，使得m＞$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2lnx}{x}$成立，
设H（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{2lnx}{x}$，则H′（x）=-2（$\frac{2}{{x}^{3}}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$），
∵x∈[1，e]，1-lnx＞0，∴H′（x）＜0，
∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=$\frac{2-2e}{{e}^{2}}$
∴m＞$\frac{2-2e}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．