Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC面积为$3\sqrt{15}$，b-c=5，$cosA=-\frac{1}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求$cos（{2A-\frac{π}{6}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得，$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，根据面积公式求出bc，结合余弦定理可得a的值．
（2）和与差的公式打开，二倍角公式化简可得答案．

解答 解：（1）在△ABC中，由$cosA=-\frac{1}{4}$，可得，$sinA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
又∵${S_{△ABC}}=3\sqrt{15}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=3\sqrt{15}$，即bc=24．
又b-c=5，
解得：b=8，c=3．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=85，
即：$a=\sqrt{85}$．
（2）∵$cos2A=2{cos^2}A-1=-\frac{7}{8}$，
$sin2A=2sinAcosA=-\frac{{\sqrt{15}}}{8}$，
∴$cos（{2A-\frac{π}{6}}）=cos2Acos\frac{π}{6}+sin2Asin\frac{π}{6}$=$（{-\frac{7}{8}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+（{-\frac{{\sqrt{15}}}{8}}）×\frac{1}{2}=-\frac{{\sqrt{15}+7\sqrt{3}}}{16}$．

点评 本题考查了正弦余弦定理的运用和化简计算能力，属于基础题