Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t
（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系；
（2）在（1）的条件下求a的取值范围；
（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（1）利用直角三角形的勾股定理得到a，t的关系；
（2）利用（1）的结论结合基本不等式求a的范围；
（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．
过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．得到平面角∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，结合直角三角形的余弦求之．

解答： 解：（1）如图，连接AQ，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．
设，则CQ=a-t，
在直角三角形MBQ中中，有AQ=

t2+4

．
在Rt△CDQ中，有DQ=

(a-t)2+4

．    …（4分）
在Rt△ADQ中，有AQ²+DQ²=AD²．
即t²+4+（a-t）²+4=a²，
即t²-at+4=0．
（2）由（1）得a=t+

4

t

≥4．
故a的取值范围为[4，+∞）．
（3）由（Ⅰ）知，当t=2，a=4时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．
过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．
过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．
∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角．
在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=

2

，又MQ=2，进而NQ=

6

．

∴cos∠MNQ=

MN

NQ

=

2

6

=

3

3

．
故二面角A-PD-Q的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查了直角三角形的勾股定理以及二面角的平面角求法，关键在正确找出平面角，属于中档题．