Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面结论正确的是

 

（把你认为正确的结论序号都填上）
①BD₁⊥平面DA₁C₁
②过点B与异面直线AC和A₁D所成角均为60°的有3条直线；
③四面体DA₁D₁C₁与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径之比为

3

3

④与平面DA₁C₁平行的平面与正方体的各个面都有交点，则这个截面的周长为定值．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,空间角,简易逻辑

分析：①由于BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，利用线面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁；
②由于异面直线AC和A₁D所成的角为60°，可得过点B与异面直线AC和A₁D所成的角均为60°的直线有且只有2条．
③设AA₁=a，可求得四面体DA₁D₁C₁内切球半径为

1

3+ 3

a，而正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径为

1

2

a，即可得出所求的比．
④将正方体沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展开到一个平面上，如图所示，易知截面多边形EFGHIJ的周长为定值，等于3

2

a（a为正方体的棱长）．

解答： 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
①由正方体的性质可得BD₁⊥A₁C₁，DC₁⊥BD₁，再根据直线和平面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁，故①正确；
∵AC和A₁D所成角均为60°，将A与A₁D移至B点，可知过点B与异面直线AC和A₁D所成角均为60°的有2条直线，故②错误；
③设AA₁=a，可求得四面体DA₁D₁C₁内切球半径为

1

3+ 3

a，而正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球半径为

1

2

a，
故所求的比应为1-

3

3

．故③错误；
④将正方体沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展开到一个平面上，如图所示，易知截面多边形EFGHIJ的周长为定值，
等于3

2

a（a为正方体的棱长），故④正确．
综上可知：正确的有①、④．
故答案为：①④．

点评：本题综合考查了线面平行于垂直的判定定理和性质定理、异面直线所成的角、内切球的性质、展开图等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．