题目内容
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（3）求点N到平面ACM的距离．
考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．由此能证明平面ABM⊥平面PCD．
（2）由AM⊥PD，又PA=AD，设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，能求出直线CD与平面ACM所成的角的正弦值．
（3）由已知得PC=6．AN⊥NC，由
=
，得PN=
．从而NC：PC=5：9．由此能求出点N到平面ACM的距离．
（2）由AM⊥PD，又PA=AD，设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，能求出直线CD与平面ACM所成的角的正弦值．
（3）由已知得PC=6．AN⊥NC，由
| PN |
| PA |
| PA |
| PC |
| 8 |
| 3 |
解答：
解：（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，得AM=2
，MC=
=2
，
则S△ACM=
AM•MC=2
．
设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，得2
h=8，
解得h=
，
设所求角为θ，则sinθ=
=
．
（3）解：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，
PA=AD=4，AB=2，
解得PC=6．因为AN⊥NC，
由
=
，得PN=
．所以NC：PC=5：9．
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的
．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（2）可知所求距离为
h=
．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD．
（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，得AM=2
| 2 |
| MD2+CD2 |
| 3 |
则S△ACM=
| 1 |
| 2 |
| 6 |
设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，得2
| 6 |
解得h=
2
| ||
| 3 |
设所求角为θ，则sinθ=
| h |
| CD |
| ||
| 3 |
（3）解：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥ABCD，
PA=AD=4，AB=2，
解得PC=6．因为AN⊥NC，
由
| PN |
| PA |
| PA |
| PC |
| 8 |
| 3 |
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的
| 5 |
| 9 |
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（2）可知所求距离为
| 5 |
| 9 |
10
| ||
| 27 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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