题目内容

已知椭圆
x2
8
+
y2
2
=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（　　）
A、k＞
1
2
或k＜-
1
2
B、k=-
1
2
C、k=
1
2
D、k的值不确定
考点：椭圆的简单性质
专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由点A（2，1）在椭圆
x2
8
+
y2
2
=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，联立方程，求出B，C点的坐标，代入斜率公式，可得答案．
解答： 解：∵点A（2，1）在椭圆
x2
8
+
y2
2
=1上，
直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，
∴设直线AB的方程为：y-1=k1（x-2），直线AC的方程为：y-1=k2（x-2）=-k1（x-2），
即直线AB的方程为：y=k1（x-2）+1，直线AC的方程为：y=-k1（x-2）+1，
将y=k1（x-2）+1，代入
x2
8
+
y2
2
=1得：（4
k
2
1
+1）x2-(16
k
2
1
-8k1)x+16
k
2
1
-8k1+4=0，
由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：
16
k
2
1
-8k1
4
k
2
1
+1
-2=
8
k
2
1
-8k1-2
4
k
2
1
+1
，
则B点的纵坐标为
-4
k
2
1
-4k1+1
4
k
2
1
+1
，即B点坐标为：（
8
k
2
1
-8k1-2
4
k
2
1
+1
，
-4
k
2
1
-4k1+1
4
k
2
1
+1
），
同理可得：C点的坐标为：（
8
k
2
1
+8k1-2
4
k
2
1
+1
，
-4
k
2
1
+4k1+1
4
k
2
1
+1
）
故BC的斜率k=
-4
k
2
1
+4k1+1
4
k
2
1
+1
-
-4
k
2
1
-4k1+1
4
k
2
1
+1
8
k
2
1
+8k1-2
4
k
2
1
+1
-
8
k
2
1
-8k1-2
4
k
2
1
+1
=
1
2
，
故选：C
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，其中求出B，C两点坐标的运算量比较大，本题也可用特殊值代入的方法排除错误答案．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2
5
，离心率为
5
5
，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点H（异于点M，N），满足
MP
PN
=
MH
HN
，试证明点H恒在一定直线上．
若曲线y=
1-ex，x≤1
1
x-1
，x＞1
与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A、(-3-2
2
，-3+2
2
)
B、(-3+2
2
，0)∪(0，+∞)
C、(-∞，-3-2
2
)∪(0，+∞)
D、(-3-2
2
，0)∪(0，+∞)
如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．BQ=t
（1）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a与t关系；
（2）在（1）的条件下求a的取值范围；
（3）（理科做，文科不做）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A-PD-Q的余弦值．
已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C相切于点P，则直线l的斜率为（　　）
A、
4
3
B、
3
4
C、
1
2
D、
5
4
数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+
1
2
an=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=log3
a
2
n
4
，数列{
1
bn•bn+2
}的前n项和为Tn，若不等式Tn＜m，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．
已知函数f（x）=a lg(x2-2x+3)（a＞0，a≠1）在R上有最小值2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=1相交，则双曲线两渐近线的夹角取值范围是
 
．
已知函数f（x）=
(2a-3)x+a-1，x≥0
ax，
 x＜0
是R上的增函数，那么实数a的取值范围为（　　）
A、(
3
2
，+∞)
B、（1，+∞）
C、[2，+∞）
D、（1，2）

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