Question

曲线f（x）=cosx（x＞0）上所有最值点按横坐标由小到大的顺序排成点列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求sinT₇的值．

Answer 1

考点：数列的求和,余弦函数的图象

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（1）首先根据最值直接确定解析式，即通项公式．
（2）由（1）的结论利用乘公比错位相减法在数列求出前n项和，进一步求出三角函数值．

解答： 解：（1）曲线f（x）=cosx（x＞0）上所有最值点按横坐标由小到大的顺序排成点列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
即令f（a_n）=±1
解得：a_n=nπ
（2）设bn=3nan
则：bn=n3nπ
T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ）π①
3T_n=（1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹）π②
①-②得：
-2T_n=（（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹）π
解得：
Tn=

3(1-3n)π

4

+

n3n+1π

2

sinT₇=sin21324π=0

点评：本题考查的知识要点：根据函数的最值确定通项公式，利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用，三角函数值的求法．