Question

已知函数f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)，定义域为[0，

π

2

]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=1，a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）f（x）解析式前两项提取cosx，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）由（1）化简得到的解析式表示出f（A），代入f（A）=1中计算求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，再利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（cosx+

3

sinx）+2sinxcos（x+

π

6

）=2cosxsin（x+

π

6

）+2sinxcos（x+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函数f（x）的值域是[-1，2]；
（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，
即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
由题意可知：0＜A≤

π

2

，即

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理，有a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×（

b+c

2

）²=

(b+c)2

4

，
∴b+c≤4，
则b+c最大值为4．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．