Question

已知f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=x²-2x+m．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，曲线y=f（x）在A（2，f（2））处的切线与曲线y=g（x）切于点B（x₀，g（x₀）），求实数m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，通过a与0的大小讨论，即可判断函数的单调性；
（2）当a=1时，利用求出曲线y=f（x）在A（2，f（2））处的切线方程，求出曲线y=g（x）在点B（x₀，g（x₀））的切线方程，通过两条直线重合，即可求实数m的值．

解答： 解：（1）f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

 (x＞0)（1分）
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立
当a＞0时，由f′(x)＞0 解得 x＞

1

a

，由f'（x）＜0解得0＜x＜

1

a

因此，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减（3分）
当a＞0时，f（x）在(0，  

1

a

)递减，(

1

a

，  +∞)递增（5分）
（2）当 a=1时，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

∴k=f′(2)=1-

1

2

=

1

2

，又 f(2)=2-ln2
∴曲线y=f（x）在点A处的切线方程为y-(2-ln2)=

1

2

(x-2)，即 y=

1

2

x+1-ln2①（8分）
又g'（x）=2x-2∴g'（x₀）=2x₀-2
∴曲线y=g（x）在点B处的切线方程为y-(

x

2 0

-2x0+m)=(2x0-2)(x-x0)
即y=(2x0-2)x+m-

x

2 0

②（10分）
由题意知①②应为同一直线
∴

2x0-2= 1 2 m- x 2 0 =1-ln2

，
解得

x0= 5 4 m= 41 16 -ln2

，
因此，m=

41

16

-ln2（12分）
另解：由

y= 1 2 x+1-ln2 y=x2-2x+m

消去y得x2-

5

2

x+m-1+ln2=0
由△=(

5

2

)2-4(m-1+ln2)=0，
解得m=

41

16

-ln2．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及曲线的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．