Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠

k

2

，2∈Z}，且f（x）+f（2-x）=0，f（x+1）=-

1

f(x)

，当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间(

1

2

，1)上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解？证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，能导出f（x）是周期为2的函数．由此能够证明f（x）是奇函数．
（2）当x∈（

1

2

，1）时，由f（x+1）=-

1

f(x)

，可得f（x））=-

1

f(x-1)

，代入即可；
（3）利用（2）的结果，当x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）时，f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即为x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 利用判别式与一元二次不等式的关系即可解出．

解答： 解：（1）由f（x+1）=-

1

f(x)

，
得f（x+2）=-

1

f(x)

=f（x），
所以f（x）是周期为2的函数．
∴f（2-x）=f（-x），
∵f（x）+f（2-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数．
（2）当x∈（

1

2

，1）时，
由f（x+1）=-

1

f(x)

，
知f（x）=f[1+（x-1）]=-

1

f(x-1)

=

1

f(1-x)

=

1

31-x

．
（3）由（2）知，当x∈（2k+

1

2

，2k+1），k∈Z）时，
f（x）=f（x-2k）=

1

31-(x-2k)

=

1

32k+1-x

．
不等式log₃f（x）＞x²-k-1即为x-2k-1＞x²-k-1，即x²-x+k＜0． 
当x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解等价于x²-x+k＜0有解．
∵对任意正整数k，△=1-4k²＜0，不等式x²-x+k＜0无解，
不存在正整数k，使得当x∈(2k+

1

2

，2k+1)时，不等式log₃f（x）＞x²-k-1有解

点评：本题证明函数是奇函数，求函数的解析式，解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用；同时要注意等价转化的数学思想．