Question

对于函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）探索并证明函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性即可；
（2）先由f（0）=0求得a=1，再证明f（-x）=-f（x），恒成立．

解答： 解：∵f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
∴f′（x）=

2ln2•2x

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴函数f（x）在R上为增函数
（2）由f（0）=a-

2

20+1

=0，得a=1，
∴f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
所以当a=1时，f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性的关系以及函数的奇偶性，属于基础题．