Question

设a∈R，且a≠2，函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立条件关系求出a，然后根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）利用复合函数单调性之间的关系即可判断函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数，则有f（-x）=-f（x）…（2分）
即lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

，得lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，所以a=-2…（4分）
所以f（x）=lg

1-2x

1+2x

，得

1-2x

1+2x

＞0，解得-

1

2

＜x＜

1

2

，
即函数f（x）的定义域为（-

1

2

，

1

2

）…（6分）
（2）令u(x)=

1-2x

1+2x

，则u′(x)=

-2(1+2x)-(1-2x)2

(1+2x)2

=

-4

(1+2x)2

…（8分）
则u'（x）＜0在（-

1

2

，

1

2

）上恒成立，所以u（x）在（-

1

2

，

1

2

）上为单调减函数，
又y=lgu在（0，+∞）上为增函数…（10分）
所以f（x）=lg

1-2x

1+2x

在（-

1

2

，

1

2

）为单调减函数．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．