Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，AA₁=4，D是棱AA₁的中点．
（1）证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）求三棱锥C₁-BCD外接球与三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BC⊥AC，又侧面垂直底面，BC⊥侧面A₁ACC₁，从而C₁D⊥BC，由此能证明平面BDC₁⊥平面BDC．
（2）由（1）知，∠C₁DB=90°，∠C₁CB=90°，C₁B是三棱锥C₁-BCD外接球的直径，且C1B=4

2

，AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的直径，且AB₁=6，由此能求出三棱锥C₁-BCD外接球与三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的体积之比．

解答： （1）证明：底面ACB中，∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又侧面垂直底面，
则BC⊥侧面A₁ACC₁，C₁D?侧面A₁ACC₁，则C₁D⊥BC，
侧面A₁ACC₁中，AD=AC=2，∴CD=2

2

，
又CC₁=4，∴C1C2=C1D2+CD2，∴C₁D⊥CD，
则C₁D⊥面BCD，C₁D?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC．
（2）解：由（1）知，∠C₁DB=90°，∠C₁CB=90°，
∴C₁B是三棱锥C₁-BCD外接球的直径，且C1B=4

2

，
由题意得AB₁是三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的直径，且AB₁=6，
∴三棱锥C₁-BCD外接球与三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的体积之比为：

V1

V2

=（

4 2

6

）³=

16 2

27

．

点评：本题考查平面BDC₁⊥平面BDC的证明，考查三棱锥C₁-BCD外接球与三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的体积之比的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．