Question

已知数列{a_n}是等比数列，数列{b_n}满足b_n=

1

n

（lga₁+lga₂+…+lga_n）（n∈N^*），记S_n=（b₁+b₂+…+b_n）（n∈N^*）
（1）若数列{a_n}的首项a₁=10，公比q=100，求数列{b_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求S_n的最大值；
（3）是否存在实数k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=+

n+k

lga1lgan

对于任意的正整数n恒成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式，即可求数列{b_n}的通项公式；
（2）根据数列{b_n}的通项公式，结合前n项和的公式，即可判断求S_n的最大值；
（3）假设存在实数k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=

n+k

lga1lgan

对于任意的正整数n恒成立？利用裂项法进行化简即可．

解答： 解：（1）若数列{a_n}的首项a₁=10，公比q=100，则a_n=10×100^n-1，则lga_n=lg10×100^n-1=lg10^2n-1=2n-1为等差数列，
∴b_n=

1

n

（lga₁+lga₂+…+lga_n）=

1

n

×

1+2n-1

2

×n=n．
（2）在（1）的条件下，b_n=n．则数列{b_n}的递增的等差数列，S_n无最大值；
（3）∵lga_n=2n-1，
∴

1

lgan-1lgan

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-3

-

1

2n-1

），
假设存在实数k，使得

1

lga1lga2

+

1

lga2lga3

+…+

1

lgan-1lgan

=

n+k

lga1lgan

对于任意的正整数n恒成立，
则

1

3

+

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=

n+k

2n-1

，
即

1

3

+

1

2

（1-

1

2n-1

）=

n+k

2n-1

，
则

1

3

+

n-1

2n-1

=

n+k

2n-1

，
则k=

2n-4

3

不是常数，即不存在实数k使等式成立．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和的应用，考查裂项法求和，运算量较大，综合性较强．