Question

在△OAC地段中，OB是连接△OBC与△OAB的一条道路，且OB=（1+

3

）百米，点B在AC上，且∠AOB=30°，∠BOC=45°，设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．
（1）将y表示成x的函数；
（2）当x取何值时，△AOC的面积最小？最小值是多少平方米？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由图形知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；
（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S_△AOC的表达式，利用基本不等式求出S_△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．

解答： 解：（1）结合图形可知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC．
∴

1

2

（1+

3

）sin30°+

1

2

y（1+

3

）sin45°=

1

2

xysin75°，
解得：y=

2 x

x-2

，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=

2 x

x-2

，（3≤x≤6），
因此，S_△AOC=

1

2

xysin75°=

1+ 3

4

•

x2

x-2

=

1+ 3

4

[（x-2）+

4

x-2

+4]≥2+2

3

，（当且仅当x-2=

4

x-2

，即x=4时，等号成立）．
∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S_△OAC最小，最小面积是（2+2

3

）×10⁴平方米．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．