Question

当x∈[0，1]时，求函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的图象的对称轴为x=3a-1，x∈[0，1]，再利用二次函数的性质，分类讨论求得函数的值域．

解答： 解：由于函数f（x）=x²+（2-6a）x+3a²的图象的对称轴为x=3a-1，x∈[0，1]，
①故当3a-1＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，故函数的最小值为f（0）=3a²，最大值为f（1）=3a²-6a+3，函数的值域为[3a²，3a²-6a+3]．
②当3a-1∈[0，

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]时，f（x）在[0，3a-1]上单调递减，在（3a-1，1]上单调递增，
故函数的最小值为f（3a-1）=-6a² +6a-1，最大值为f（1）=3a²-6a+3，函数的值域为[-6a²+6a-1，3a²-6a+3]．
③当3a-1∈（

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，1]时，f（x）在[0，3a-1]上单调递减，在（3a-1，1]上单调递增，
故函数的最小值为f（3a-1）=-6a² +6a-1，最大值为f（0）=3a²，故函数的值域为[-6a²+6a-1，3a²]．
④当3a-1＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，故函数的最大值为f（0）=3a²，最小值为3a²-6a+3，故函数的值域为[3a²-6a+3，3a²]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．