Question

设抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上横坐标为3的点到C的准线的距离等于4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点N（3，0），过点F的直线交抛物线C于A，B两点．求|NA|•|NB|的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线C上横坐标为3的点到C的准线的距离等于4，即有3+

p

2

=4，可得p=2，即可求抛物线C的方程；
（2）设AB方程是x=my+1，代入抛物线方程得到：y²-4my-4=0，利用韦达定理，结合配方法，即可求|NA|•|NB|的最小值．

解答： 解：（1）抛物线C上横坐标为3的点到C的准线的距离等于4，即有3+

p

2

=4，
∴p=2，
∴抛物线方程是y²=4x；
（2）F坐标是（1，0），则设AB方程是x=my+1．
代入抛物线方程得到：y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2
|NA|²|NB|²=[（3-x₁）²+y₁²][（3-x₂）²+y₂²]=144m⁴+72m²+68=144（m²+

1

4

）²+68-9，
故当m²=0时有最小值是：68，
即|NA|•|NB|的最小值是2

17

．

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．