Question

已知函数f（x）=|x-m|-2|x-1|．
（1）当m=3时，求f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当m=3时，函数f（x）=|x-3|-2|x-1|=

x+1，x＜1 5-3x，1≤x＜3 -x-1，x≥3

，再根据函数的单调性求得函数f（x）的最大值．
（2）关于x的不等式即 （x-m）²≥4（x-1）²，化简可得3x²+（2m-8）x+4-m²≤0．计算△=16（m-1）²≥0，由此求得一元二次不等式的解集．

解答： 解：（1）当m=3时，函数f（x）=|x-3|-2|x-1|=

x+1，x＜1 5-3x，1≤x＜3 -x-1，x≥3

，故当x=1时，函数f（x）取得最大值为2．
（2）关于x的不等式f（x）≥0，即|x-m|≥2|x-1|，即 （x-m）²≥4（x-1）²，化简可得3x²+（2m-8）x+4-m²≤0．
由于△=16（m-1）²≥0，求得

4-m-2|m-1|

2

≤x≤

4-m+2|m-1|

2

．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．