题目内容

20．已知F1、F2分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点且$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，3]B．[3，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）

分析 设|PF1|=m，|PF2|=n，根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|2=8a|PF2|，得到n=2a，m=4a，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出2c≤6a，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3且双曲线离心率e＞1，综上即可求得双曲线离心率的取值范围．

解答 解：设|PF1|=m，|PF2|=n，
根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|2=8a|PF2|，
∴m-n=2a，m2=8an，
∴$\frac{m-n}{{m}^{2}}$=$\frac{2a}{8an}$，
∴m2-4mn+4n2=0，
∴m=2n，
∴n=2a，m=4a，
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
∴2c＜4a+2a，
∴$\frac{c}{a}$＜3，
当p为双曲线顶点时，$\frac{c}{a}$=3
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤3，
故选A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系，考查计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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