Question

1．由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种装置各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[70，76]	[76，82]	[82，88]	[88，94]	[94，100]
装置甲	8	12	40	32	8
装置乙	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计装置甲、装置乙为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件装置甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件装置乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的条件下，
（1）记X为生产一件装置甲和生产一件装置乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）求生产5件装置乙所获得的利润不少于140元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频数分布表求出装置甲、乙合格品的概率；
（Ⅱ）（1）根据题意得出随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，
写出X的分布列，计算数学期望值．
（2）求出生产5件装置乙合格品的件数，
计算生产5件装置乙所获得的利润不少于140元的概率．

解答 解：（Ⅰ）装置甲合格的概率为p₁=$\frac{40+32+8}{100}$=$\frac{4}{5}$，
装置乙合格品的概率为p₂=$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）（1）随机变量X的所有可能取值为90，30，45，-15；
则P（X=90）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=45）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=30）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=-15）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$；
∴随机变量X的分布列为

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

数学期望是E（X）=90×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{3}{20}$+30×$\frac{1}{5}$+（-15）×$\frac{1}{20}$=66；
（2）设生产5件装置乙合格品有n件，则次品有5-n件，
依题意得，50n-10（5-n）≥140，
解得n≥$\frac{19}{6}$，∴取n=4或n=5；
设“生产5件装置乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则概率P（A）=${C}_{5}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$•$\frac{1}{4}$+${（\frac{3}{4}）}^{5}$=$\frac{81}{128}$．

点评 本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．