Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx-1，sin（2x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow{b}$=（1，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{c}$=（cosx，1），f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a²，b²，c²成等差数列，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$，求解出函数f（x）的解析式，化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；即可求在[0，π]上的单调递增区间
（2）根据a²，b²，c²成等差数列，c²+a²=2b²建立关系，即可求f（B）的取值范围．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx-1，sin（2x+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow{b}$=（1，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow{c}$=（cosx，1），
∵f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$
∴f（x）=2sinxcosx+sin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z
∴在[0，π]上的单调递增区间为[0，$\frac{π}{12}$]和[$\frac{2π}{3}，π$]
（2）由题意a²，b²，c²成等差数列，
∴c²+a²=2b²，
由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$，
∵c²+a²≥2ac，
∴cosB•4ac≥2ac，
cosB$≥\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴0＜B$≤\frac{π}{3}$．
那么：f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{3}$）
∴$\frac{π}{3}＜$2B+$\frac{π}{3}$≤π
∴sin（2B+$\frac{π}{3}$）∈[0，1]
故得f（B）的取值范围是[0，2]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．