Question

已知函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），已知该函数为偶函数．求证：对所有非零实数x，都有f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先证明x＞0时，f（x）＞0，根据函数是偶函数，图象关于y轴对称，可得．

解答： 解：因为函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
当x＞0时，因2^x＞1，∴

1

2x-1

＞0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
由于函数为偶函数，图象关于y轴对称，故x＜0时，f（x）＞0，
所以对所有非零实数x，都有f（x）＞0．

点评：本题主要考查偶函数的性质，属于基础题．