Question

2．设a＞0，b＞0，函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb，且?x∈[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]，使得f（x）≤g（x），则$\frac{b}{a}$的取值范围是[e，7）．

Answer 1

分析 构造函数令p（x）=xln$\frac{x}{b}$+a，x∈[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]，求解导数p′（x）=ln$\frac{x}{b}$+1，运用导数判断出p（x）在（0，$\frac{b}{e}$）单调递减，在（$\frac{b}{e}$，+∞）单调递增，分类求解，若$\frac{3a+b}{5}$≤$\frac{b}{e}$，若$\frac{a+b}{4}$＜$\frac{b}{e}$＜$\frac{3a+b}{5}$，若$\frac{a+b}{4}$≥$\frac{b}{e}$，分别求出最小值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）≤g（x）可变为xln$\frac{x}{b}$+a≤0，
令p（x）=xln$\frac{x}{b}$+a，x∈[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]，
则p′（x）=ln$\frac{x}{b}$+b，
由p′（x）＞0，可得x＞$\frac{b}{e}$，由p′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{b}{e}$，
所以p（x）在（0，$\frac{b}{e}$）单调递减，在（$\frac{b}{e}$，+∞）单调递增，
根据题意可设：$\frac{a+b}{4}$＜$\frac{3a+b}{5}$，可解得$\frac{b}{a}$∈（0，7），
若$\frac{3a+b}{5}$≤$\frac{b}{e}$，即$\frac{b}{a}$∈[$\frac{3e}{5-e}$，7）时，
∵p（x）在[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]单调递减，
∴p（x）_min=p（$\frac{3a+b}{5}$）=$\frac{3a+b}{5}$ln$\frac{3a+b}{5b}$+a≤0，
即ln$\frac{3+\frac{b}{a}}{5•\frac{b}{a}}$+$\frac{5}{3+\frac{b}{a}}$≤0，对$\frac{b}{a}$∈[$\frac{3e}{5-e}$，7）恒成立，
若$\frac{a+b}{4}$＜$\frac{b}{e}$＜$\frac{3a+b}{5}$，即$\frac{b}{a}$∈（$\frac{e}{4-e}$，$\frac{3e}{5-e}$），
可得p（x）_min=p（$\frac{b}{e}$）=$\frac{b}{e}$ln$\frac{1}{e}$+a≤0，
可得$\frac{b}{a}$≥e，即有$\frac{b}{a}$∈[e，$\frac{3e}{5-e}$）；
若$\frac{a+b}{4}$≥$\frac{b}{e}$即$\frac{b}{a}$≤$\frac{e}{4-e}$，
可得p（x）在[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]单调递增，
∴p（x）_min=p（$\frac{a+b}{4}$）=$\frac{a+b}{4}$ln$\frac{a+b}{4b}$+a≤0，
令t=$\frac{b}{a}$∈（0，$\frac{e}{4-e}$），即φ（t）=ln$\frac{1+t}{4t}$+$\frac{4}{1+t}$≤0恒成立．
因为φ′（t）=-$\frac{5t+1}{t（t+1）^{2}}$＜0，所以φ（t）在（0，$\frac{e}{4-e}$）上单调递减，
故存在无数个t₀∈（0，$\frac{e}{4-e}$），使得φ（t₀）＞0，
如取t₀=1，φ（1）=ln$\frac{1}{2}$+2＞0，与φ（t）≤0恒成立矛盾，此时不成立．
综上所述，$\frac{b}{a}$的取值范围是[e，7）．
故答案为：[e，7）．

点评 本题综合考查了导数在函数单调性，最值中的应用，结合不等式求解，思维能力强，运算能力强，属于难题．