Question

9．f（x）=|x-a|+|2x+1|
（1）a=1，解不等式f（x）≤3；
（2）f（x）≤2a+x在[a，+∞）上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集取并集即可；
（2）求出f（x）的最大值，问题转化为不等式化为2x+1≤3a有解，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|x-1|+|2x+1|，
故$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{1-x-1-2x≤3}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{1-x+2x+1≤3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+2x+1≤3}\end{array}}\right.$，
解得：$-1≤x＜-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}≤x≤1$或x∈∅，
所以原不等式解集为{x|-1≤x≤1}．
（2）∵x∈[a，+∞），
∴f（x）=|x-a|+|2x+1|=x-a+|2x+1|≤2a+x，
故|2x+1|≤3a有解，所以a≥0，
∴不等式化为2x+1≤3a有解，
即2a+1≤3a⇒a≥1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．