Question

17．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-8≤0}\\{2x-3y+6≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，若x²+2y²≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）

• A． 5
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 利用换元法将不等式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：设a=x，b=$\sqrt{2}$y，则不等式x²+2y²≥m等价为a²+b²≥m，
则实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-8≤0}\\{2x-3y+6≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$等价为$\left\{\begin{array}{l}{4a-\frac{\sqrt{2}}{2}b-8≤0}\\{2a-\frac{3\sqrt{2}}{2}b+6≥0}\\{a+\frac{\sqrt{2}}{2}b-2≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=a²+b²，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，
由图象知O到直线2a+$\sqrt{2}$b=4的距离最小，
此时原点到直线的距离d=$\frac{|4|}{\sqrt{4+2}}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
则z=d²=$\frac{8}{3}$，
即m≤$\frac{8}{3}$，即实数m的最大值为$\frac{8}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，解题的关键是会利用换元法进行求解．